Problem habe ich nach mehreren Stunden Arbeit und Rumprobieren selbst lösen können. Vielleicht hilft das anderen Usern auch weiter:

Die Deinstallation von Vaio Care hat nicht mit herkömmlichen Mitteln (Programme und Features oder TuneUp) funktioniert. Mir hat nur das Tool "Total Uninstall" weiter geholfen. Es hat Vaio Care komplett von meinem Rechner gelöscht. Eine Neuinstallation über Vaio Update hat dann ohne Probleme funktioniert.